はじめに
中学3年生の数学で学習する「相似」。図形の問題が苦手な生徒にとって、相似条件を覚えたり、証明問題を解いたりすることは難しく感じるかもしれません。
特に高校受験では、三角形の相似条件を使った証明問題や、相似比を利用した長さ・面積の計算問題が出題されることがあります。
「相似条件がなかなか覚えられない」
「合同条件と相似条件の違いがわからない」
「証明問題で何を書けばよいのかわからない」
このような悩みを抱えている中学3年生も多いのではないでしょうか。
今回は、Growth家庭教師が中学3年生に向けて、相似条件の基本から覚え方、証明問題の解き方、高校受験に向けた勉強方法までわかりやすく解説します。
1. そもそも相似とは？
相似とは、図形の形が同じで、大きさが異なっていてもよい関係のことです。
例えば、大きな三角形と小さな三角形があり、対応する角の大きさがそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比がすべて等しければ、2つの三角形は相似になります。
相似な図形には、次のような特徴があります。
- 対応する角の大きさがそれぞれ等しい
- 対応する辺の長さの比がすべて等しい
合同との違いも押さえておきましょう。
合同は「形も大きさも同じ」であるのに対し、相似は「形が同じで、大きさは異なっていてもよい」という違いがあります。
この違いを理解しておくと、図形問題を解くときに役立ちます。
2. 三角形の相似条件は3つ！
中学3年生の数学で必ず覚えておきたいのが、三角形の相似条件です。
相似条件① 3組の辺の比がすべて等しい
2つの三角形について、対応する3組の辺の比がすべて等しい場合、2つの三角形は相似になります。
例えば、三角形ABCの辺の長さが3cm、4cm、5cmで、三角形DEFの対応する辺が6cm、8cm、10cmの場合を考えます。
それぞれの辺の比は、
- 3：6＝1：2
- 4：8＝1：2
- 5：10＝1：2
となり、3組の辺の比がすべて等しくなります。
したがって、2つの三角形は相似です。
相似条件② 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
2組の対応する辺の比が等しく、その2組の辺にはさまれた角が等しい場合も、三角形は相似になります。
ここで重要なのは、辺の比だけでなく、その間の角にも注目することです。
問題文や図を見て、対応する辺と角が正しく組み合わさっているか確認しましょう。
相似条件③ 2組の角がそれぞれ等しい
2組の対応する角がそれぞれ等しい場合、2つの三角形は相似になります。
三角形の内角の和は180度なので、2組の角が等しければ、残りの1組の角も等しくなります。
例えば、ある三角形の2つの角が40度と60度、別の三角形の対応する2つの角も40度と60度なら、残りの角はどちらも80度です。
このように、角度に注目することで相似を判断できる問題もあります。
3. 相似条件を覚えるためのポイント
相似条件は、ただ文章を暗記するだけでは忘れてしまうことがあります。
おすすめの勉強方法は、次の3つです。
① 3つの条件を自分の言葉で説明する
相似条件を見ずに、次の3つを説明できるか確認してみましょう。
- 3組の辺の比がすべて等しい
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2組の角がそれぞれ等しい
言葉だけで覚えるのが難しい場合は、三角形の図を描いて、どの辺や角に注目するのかを書き込むと理解しやすくなります。
② 合同条件との違いを整理する
中学2年生で学習した三角形の合同条件と、中学3年生で学習する相似条件は混同しやすい単元です。
合同は辺の長さや角度が一致することに注目しますが、相似では辺の長さそのものではなく、対応する辺の比が等しいことが重要になります。
この違いを理解し、問題に応じて正しい条件を使えるようにしましょう。
③ 実際に問題を解いて確認する
相似条件を覚えたら、教科書や学校のワークの基本問題に取り組みましょう。
最初から難しい証明問題に挑戦する必要はありません。
まずは図を見て「どの相似条件が使えるのか」を判断する練習から始めると、少しずつ解き方が身についていきます。
4. 相似を使った証明問題の解き方
相似条件を理解したら、次は証明問題に挑戦してみましょう。
証明問題では、結論だけを書くのではなく、なぜ2つの三角形が相似になるのかを順序立てて説明することが大切です。
基本的な流れは次のとおりです。
- 相似を証明する2つの三角形を確認する
- 等しい角や辺の比を見つける
- 使用する相似条件を決める
- 根拠を示しながら証明を書く
- 最後に、2つの三角形が相似であることを記述する
例えば、平行線が含まれる図形では、錯角や同位角が等しいことを利用できる場合があります。
図の中に平行線がないか、共通する角がないかを確認することがポイントです。
また、証明問題では、なぜその角が等しいのか、なぜその辺の比が等しいのかという根拠を書くことを意識しましょう。
相似条件だけを暗記していても、問題の中で使えなければ得点につながりません。基本問題を繰り返し解き、説明の仕方まで身につけることが大切です。
5. 相似比を使った計算問題にも注意！
相似の単元では、相似条件だけでなく、相似比を利用した計算問題も重要です。
例えば、相似な2つの三角形の対応する辺の長さが3cmと6cmなら、相似比は1：2です。
この場合、対応する辺の長さも同じ比率になります。
さらに、相似な図形では次の関係が成り立ちます。
- 対応する辺の長さの比は、相似比と等しい
- 面積の比は、相似比の2乗になる
- 体積の比は、相似比の3乗になる（相似な立体の場合）
例えば、相似比が2：3の三角形なら、面積の比は4：9になります。
辺の比と面積の比を混同してしまう生徒もいるため、公式を丸暗記するだけでなく、具体的な数値を使って練習しておきましょう。
6. 高校受験に向けて相似を得点源にしよう！
中学3年生にとって、相似は高校受験に向けて理解しておきたい重要な単元です。
相似条件を利用した証明問題だけでなく、線分の長さを求める問題や、面積比を利用する問題など、さまざまな形式で出題されることがあります。
苦手意識がある場合は、次の順番で勉強することをおすすめします。
ステップ1：相似条件を覚える
まずは3つの相似条件を理解し、何も見ずに説明できるようにしましょう。
ステップ2：基本問題を解く
図形を見て、どの条件が使えるのかを判断する練習をしましょう。
ステップ3：証明問題に取り組む
角度や辺の比を確認し、根拠を順序立てて書く練習をしましょう。
ステップ4：応用問題に挑戦する
相似比、面積比、線分の長さを求める問題などにも取り組み、入試問題に対応できる力を身につけましょう。
間違えた問題は、答えを写して終わりにするのではなく、どの条件を見落としたのかを確認することが大切です。
7. Growth家庭教師が中学3年生の数学をサポート！
相似は、最初は難しく感じるかもしれませんが、基本となる条件を理解し、問題を解く経験を積むことで少しずつ得意にできる単元です。
一方で、相似条件を覚えていても、図形のどこに注目すればよいのかわからず、証明問題でつまずいてしまうこともあります。
Growth家庭教師では、お子さま一人ひとりの理解度に合わせて、基礎の確認から応用問題まで段階的に学習を進めることが大切だと考えています。
「数学の図形問題が苦手」
「証明問題になると手が止まってしまう」
「高校受験に向けて数学の苦手分野を克服したい」
このようなお悩みがある場合は、まずどこでつまずいているのかを確認し、必要な部分から復習していきましょう。
相似条件を理解することは、数学の得点力を高めるための第一歩です。
中学3年生のみなさん、あきらめずに基本から取り組み、高校受験に向けて着実に力をつけていきましょう！
Growth家庭教師は、日々の学習から高校受験に向けた勉強まで、お子さまの学習をサポートします。
２０１９年に奈良県生駒市からスタートし、勉強のやり方を改善する指導に特化した家庭教師センターです。毎日の課題のチェックを徹底的に管理して、学習の習慣を自然と身に着けさせる方法でたくさんの子ども達の成績向上に携わってきました。今では口コミで広がり他府県からも依頼がある家庭教師センターです。奈良県はもちろん、大阪府・兵庫県・和歌山県・滋賀県・京都府の内申点の計算も可能な家庭教師センターです。年間1,000件以上の学習相談や私生活のご相談を無料でアドバイスをしています。毎年、たくさんの子ども達からのお手紙がスタッフ一同大変励みになっております。